: 微分積分学

ブラックショールズモデル導出への道しるべ

■ブラックショールズモデル導出に必要な金融数学について説明したサイトです■

$\includegraphics[width=6.7cm,height=5.8cm]{randomwalk2.eps}$

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【Introduction】

ブラックショールズモデルとは、金融工学におけるオプションの価格決定の際に必要な計算モデルのことを指します。

$\begin{picture}(246,80) \put(0,0){\begin{LARGE}$r\omega(x,t)\:=\:\frac{\partial ... ...l x^2}+r\omega\frac{\partial \omega(x,t)}{\partial x}$\end{LARGE}} \end{picture}$

上記の方程式はブラックショールズ偏微分方程式と呼ばれるものです。ブラックショールズのモデルを導出するにはまずこの式から計算を行い、そして導かれていきます。そして最終的に求まるものは次のようなものになります。

$\begin{picture}(246,80) \put(0,0){\begin{LARGE}$\omega(x,t)\:=\:x\cdot N(d_1)-ce^{-r(t_n-t)}\cdot N(d_2)$\end{LARGE}} \end{picture}$

ただし上記は次のようになっています。

$\begin{picture}(246,80) \put(0,0){\begin{LARGE}$d_1\;=\;\frac{\log\frac{x}{c}+\l... ...}+\left(r-\frac{v^2}{2}\right)(t_n-t)}{v\sqrt{t_n-t}}$\end{LARGE}} \end{picture}$

$N(\cdots)$ と表記されているものは正規分布関数と呼ばれるもので、一般的には次のように表されるものです。

$\begin{picture}(246,80) \put(0,0){\begin{LARGE}$N(\mu,\sigma^2)=\int^{+\infty}_{... ...e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}dx$\end{LARGE}} \end{picture}$

$\mu$ (ミュー)が平均、 $\sigma^2$ が分散を表しています。下の図１のグラフは $\sigma$ (シグマ)がそれぞれの時の値の正規分布関数をグラフ化したものです。

**図 1:** 正規分布関数
$\includegraphics{bssmp11.eps}$

この正規分布関数というのは変数シグマの値が変化してもグラフの分布は必ず

軸

を中心に左右対称に広がっているのがその特徴です。

【このサイトの趣旨】

■主に文系の学校出身の方を対象にしています。ですので当サイトでは数学の苦手な方でも理解できることを目的としているので（証明のない数学などはありませんが）、わかりづらい表記や説明はなるべく避け、あくまで道具としての数学を習得させることを目標としています。

■一般的に、このブラックショールズのモデルを導くにはかなり高度な数学の知識が必要だとよく言われておりますが、基本的には大学の物理学科の１年次、あるいは２年次（まで）には習得できていなければならないような数学のレベルであるので、一般の方でもやれば必ず出来るものだと考えてよろしいかと思います。
ただし、このブラックショールズ偏微分方程式からブラックショールズモデルを導出するための習得すべき数学の範囲は広く、さらには一般的な経済数学に使われる数学とはやや一線を画していますので自力で導き出せるようになるまでにはある程度の敷居の高さと難しさを感じさせることがあるかもしれません。

■学習方法としては特にどうしろとは言いません。ご自分でやりやすいようにやってください。ただし一つアドバイスするならばやはり紙とペンをとってご自分の手を直接動かして計算することを強くお勧めします。
内容はブラックショールズのモデル導出に関する部分に限らず、最初のほうには偏微分、合成関数微分や全微分などの微分積分に関する簡単な知識、フーリエ解析におけるフーリエ級数展開およびフーリエ積分などの計算法、さらには微分方程式、一次元熱伝導方程式、無限区間における熱伝導方程式などのブラックショールズ偏微分方程式からブラックショールズモデルを導くまでに必要不可欠な数学（物理数学）の解説などの内容も付け足しておきました。その部分はほぼ蛇足ですので必要ないという方はチャプター５（ブラックショールズ偏微分方程式）のほうから閲覧していってください。
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down_boys 平成21年4月16日